代数是什么意思（浅谈代数）

100次浏览发布时间：2024-11-15 09:31:00

什么是代数？

那么什么是代数？对一般人来说，代数就是用符号代替未知数，进而经由运算，来解决数学问题，比方说我们看1+2=3 ，我们可以把 1 这个数字换成一个未知数 x, 就可以换句话说，问你什么数字加 2 以后会等于 3; 换句话说，就是来解一元一次方程式。在数学课里，我们学到了如何处理稍微更复杂一点的问题，比方说解这个一元二次方程式

又或者这个二元一次联立方程式

也就是鸡兔同笼问题。

但是代数远远不止于如此，对古时候的数学家来说，代数这门学问，就是以符号操作来解方程式，我们今天会以初等代数来称呼它。而随着数学在进步，代数就变成了研究“规则”所衍生出来的数学分支，比方说我们今天谈的线性代数或是抽象代数，里面的代数就是指这样子的代数。最后，很容易让人混淆的是，代数也可以是一种可数名词，来描述由这些规则所生成的数学空间，比方说实数、复数、李代数都是这种意义下的代数。除此之外，也有数学家创造并以此命名的代数。

文艺复兴时期的数学家

首先让我们回到文艺复兴时期。文艺复兴起源于意大利，而后才拓展到欧洲其他国家。最早的大学就是在意大利的波隆那（Bologna）大学。这些大学的存在，才得以资助数学家一边做研究一边教书，才让数学有飞跃性的突破。值得一提的是，当时的数学有记号上的缺陷，他们不承认小于0的负数，也不承认有虚数的复数。他们不像我们现在，可以把二次方程写出一般式，然后再把它解写成公式解

当时的人必须把小于0的项丢到等式的两边，才能把二次方程化简而后分类，然后用食谱一般的形式来记载求解的过程。

最早对三次方程做出突破的数学家，就是波隆那大学的讲师德费罗（Scipione del Ferro， 1465∼1526)。他当时并没有选择将自己的解法公开，反而将自己的解法写在笔记本里面，作为决斗的秘密武器，死后传给自己的徒弟和女婿。这里我们说的决斗不是像图中这样真刀真枪的决斗，而是互相出题考对方的头脑决斗。当时的大学金主通常会通过决斗的结果，来选择赞助的数学家。

当时最出名的决斗者，就是这位尼可罗冯大拿Niccolo Fontanna （1500∼1557），绰号“口吃的（Tartaglia）”。他出身穷困，小的时候被法国士兵砍伤下巴，导致口吃。他透过一连串的数学决斗，获得了意大利威尼斯大学的教职。冯大拿苦心钻研，在德费罗之后也贡献了三次方程的问题。

Niccolo Fontanna (1500∼1557)

另一方面德费罗的徒弟费尔（Fiore）继承了秘密笔记本后，就以为自己天下无敌，到处吹嘘。于是在 1535 年，两人就展开了三次方程的决斗。决斗的期限有50天，双方各出30道题目考对方。费尔从笔记本当中学到的解法，只会解型如这样子的三次方程，因此他就出了 30 道这样子的题目给冯大拿。另一方面冯大拿知道如何将一般的三次方程化解成这种形式，所以他就出了各式各样的三次方程来考费尔。而结果显而易见; 费尔被冯大拿的各式各样的问题搞得头昏脑胀，但是冯大拿却在两个小时之内把费尔的 30 道问题全部解出，最后大获全胜、声名大噪。

而名声总是容易带来坏事，当时米兰学术界的活跃人物，就是这位医生斜槓数学家卡当（Girolamo Cardano， 1501∼ 1576)。卡当找上了冯大拿，以米兰的工作与人脉作为筹码，求冯大拿分享三次方程的解法，并发誓永远不外泄。但是在4年后，卡当拜访了德费罗的女婿。他发现在笔记本中德费罗早就破解了三次方程，于是他想说：他写一本书把德费罗的方法公开，就不算违背跟冯大拿的誓言。于是卡当就在 1545 年出版了这本《伟大的技术或代数规则》。在书中，卡当不仅列出了三次方程的解法，也同时指出四次方程可以化解成三次方程，因此可以一并解决。这本书几乎让卡当成为那个时代最伟大的人。

Girolamo Cardano (1501∼1576)

《伟大的技术或代数规则》

另一方面，冯大拿简直气疯了。他认为卡当背弃他的誓言，用所有你想得到或想不到的恶毒言语来攻击卡当，并要求与卡当决斗。但是当时卡当的地位比冯大拿高太多了，决斗对他来讲并没有任何的好处。他只愿意让自己的弟子法拉利出战。冯大拿起初当然不愿意，直到 1548 年，冯大拿的故乡布雷西亚（Brescia）大学说：如果你愿意和法拉利决斗并获胜，那么我们就会给你一个大学教职。于是冯大拿就答应了这场与法拉利的决斗。一边冯大拿只会解三次方程，另一边法拉利却连四次方程都能轻松上手，不意外的，最后决斗由法拉利胜出，冯大拿黯然退场。

拉格朗日的预解式

而下一个重要的数学突破要到 200 年后，拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange， 1736∼1813）观察前人对于四次方程解法的规律，创造了一个预解式（resolvent）的概念来辅助解原本的方程。他观察到在 4 次以下的方程你都可以透过这个预解式的手法把原本要解的方程式次数降低 1。所以当他发现五次方程的预解式次数不减反增，他便猜测 5 次以上的方程式没有办法一样求解。

Joseph-Louis Lagrange (1763∼1813)

接下来我们来看看拉格朗日的做法。首先我们看三次方程式

不妨假设二次项可以设成 0。我们做一个变量代换，设，其中是我们的新变数，而是待定项。整理后会得到这个式子

我们发现，如果是 0 的话，式子会简单许多。因此我们现在决定让，所以原式就可以化解成这个六次式

原方程等于 0，则这个六次预解式

就必须要是0。但是这个预解式其实是一个假的六次式，他可以写成一个二次式，是代入的三次方而成：

我们就可以用公式来算出的两个解和，进而回推预解式

的两个解和。由根与系数关系，我们可以回推：这两个三次方根乘起来会是原预解式的零次项开三次根号

也可以用这个关系回推和 . 我们发现不管取和的哪一个，都会是同样的。以上是卡当与冯大拿的做法。

但是拉格朗日的时候就已经知道了复数。他知道三次方根有其他的单位方根 ω，也因此他可以把的 6 个复数解全部都写出来：令，另四个根用 ω表示为 ,,,。依样画葫芦就可以得到原方程的另外两个复数根; 有解

拉格朗日后来将这种作法推广，对于n次方程都可以定义他的预解式。

伽罗瓦理论

拉格朗日的观察，后来被阿贝尔（Niels Henrik Abel， 1802∼1829）及伽罗瓦（Évariste Galois， 1811∼1832）继承。阿贝尔证明了五次方程不保证有根式解，也是说它可能有解，但是这些解不保证可以由有理数加减乘除开根号得到。而伽罗瓦进而刻划出五次方程有根式解的充分必要条件。

Niels Henrik Abel (1802∼1829)

Évariste Galois (1811∼1832)

伽罗瓦的理论是大学抽象代数中一个重要的章节。我们在这边可能只能忽略细节讲一些它的精神，这个精神就是说方程式只是表象，关键在从这个表象中抽取关键的规则。比方说我们看这两个五次式

肉眼看起来它们长得几乎一模一样，它们只是在常数项中差了一个 1，但是它们的解却大大的不同。伽罗瓦的理论告诉你，如何从一个方程式出发，定义一个所谓的群，一种新的代数结构。在这个例子当中虽然这两个方程式 f和g长得差一点点而已，但是他们对应的群却天差地别; 前面的群里面有10个元素，后面的群里面却有 120 个元素。而伽罗瓦定理告诉你说：方程式保证有根式解的充分必要条件，是这个群的结构要够好。所以我们不再看方程式当中的那些数字，我们转而去研究群的结构。从此数学主流对方程序求解失去了兴趣，而伽罗瓦理论作为重要而深刻的工具流传下来。

形变群（Transformation groups）

在伽罗瓦理论当中，方程式只是表象，重要的是当中的规则，也就是它的伽罗瓦群。在看起来不相关的其他领域，也有类似的现象，比方说李（Marius Sophus Lie， 1842∼1899) 和克莱因（Felix Klein， 1849∼1925）研究的形变，他们透过收集离散与连续形变的规则，定义出现在所谓的有限群及无限的李群; 而话锋一转代数突然就从研究方程式怎么解，变成研究这些数学结构的分类。

Marius Sophus Lie (1842∼1899）连续形变 ⇒（无限）李代数

Felix Klein (1849∼1925）离散形变 ⇒有限群论

而做这些研究，其实就很像以前的化学家，他们发现新的元素，他们研究分子由哪些原子构成。

而那个时候的群论学家就是挑出一个群，看看我们要怎么把它拆解成最基本的元素，也就是所谓的简单群。而他们的研究成果就可以写成这个伟大的定理：简单群分类定理; 也就是说，所有的简单群有三大家族：构造相对简单的交替群以及循环群，以及用李代数表现理论构造的李型有限群; 除此之外还有 26 个例外。

Andrus, Ivan. (2012).https://irandrus.wordpress.com/2012/06/17/the-periodic-table-of-finite-simple-groups/

这个简单群分类定理的证明一点都不简单，它必须要结合一百多年来一百多篇论文的结果才算完成：

⊛1832年伽罗瓦构造最初的简单群 - 交替群（alternating group ),

⊛1955年谢瓦来（Chevalley）透过李代数构造李型简单群，

⊛1982年格里斯（Griess）构造最复杂的简单群 - 怪物群（monster group M),

⊛2008年结合一百多年来一百多篇论文，第一代证明完成。

而近十年来有一些人在着手于第二代证明; 他们已经先知道答案了，所以可以把第一代证明当中摸索的过程简化。但即使如此他们也估计要到 2024 年才可以把证明所有的细节写完，估计要达到 5000 多页。

代数成为一种结构

最后我们来看看代数作为一种数学结构是什么意思。这个动机还是要回到当初的解方程式。我们看卡当公式解这个三次方程可以写出他的解如下

以当时的观念来说，根号里面不可以有负数，所以这个公式应该是无效的。这个方程应该没有解。但是你可以真的去算，明明你代入检验，可以确认它是这个三次方程的一个解。那怎么办呢？庞贝里（Bombelli）就提出了虚数的概念; 只要我们忍受一个无意义的符号，满足这个算法，它这个符号乘以本身，那么你就可以将这两个三次根号里面的东西化简成 2±11 那个无意义的符号，而 , 所以就会是；两个无意义的符号消掉，你就可以得到 4 这个解。

但是这个虚数的乘法，以当时的几何观念来讲是不自然的。它不是当单纯的矢量的加法; 这个复数空间上必须要有一个额外的乘法。而任何形同的复数，其乘法结构都可以只被这两个生成元 1 和的乘法表决定。所以人们当时就定义代数是一种复数的推广，只要包含系数域、生成元和乘法表，你都可以把这个新的数学结构叫做一个代数。

“代数”就是种复数的推广，当中的数据包含了（1）系数域（2）生成元（3）乘法表。

在这个发现之后数学家尝试去把复数推广成更复杂的代数，比方说哈密尔顿（Hamilton）的四元数，可以拿实数作为他的系数域。他把生成元从两个 1 和推广成四个 1、、、。他把乘法表可以明确的写出来，就可以定出一个非交换代数：

更甚之，你的代数当中的生成元甚至并不需要是一个数字，比方说你可以看 n阶方阵形成的矩阵代数，当中每个生成元都是一个基本矩阵，也就是说矩阵当中非 0 即 1，而且恰有一个地方是 1。因此你就可以用矩阵的乘法规则，来定义你的代数规则，从而定义出一个新的代数。而从此开始，代数这个数学分支就变成是在研究代数这个数学空间。

表现理论

Root system of type E8

Johann Carl Friedrich Gauss (1777∼1855)

而代数研究当中一个重要的工具就是表现理论。表现理论的前身，是高斯（Johann Carl Friedrich Gauss， 1777 ∼1855）在数论方面的工作。当年他考虑这个问题：什么样子的整数 n可以写成下面的整系数二次形式？

对于每个这样的二次形式，都定义一个复数。他把这些二次形式收集起来，得到一个交换群

他并对此交换群定义所谓的特征标（character）

来解决这个数论问题。我们在此不详细解释高斯的工作，但是我们可以注意到：在这个数论问题当中，二次形式也只是表象，就如同方程式也只是表象而已。重要的是，你可以对于这个表象、这个二次形式，来赋予一个复数来解决问题。

Ferdinand Georg Frobenius (1849∼1917)

之后，福比尼（Ferdinand Georg Frobenius ， 1849 ∼1917）观察高斯的特征标理论。特征标当中将每一个群里面的元素送到一个非0的复数，那岂不就是一个 1×1的可逆矩阵？那我们为什么不把这个 1 改成任何一个数字 n？福比尼这样子做：他把每个抽象的元素、每个抽象的规则都赋予一个具体的矩阵来研究，就变成我们今天所说的群表现。福比尼因此只手奠定了表现理论的基础。除了刚刚提到的简单群分类定理以外，表现理论仍然是 21 世纪数学的主流分支，许多费尔兹奖的得主的工作也都和表现理论息息相关。

我们用浅显的语言来说，表现理论就是同时研究表象与规则。我们刚刚看到的几个重要的问题：解方程式或者是高斯的数论问题，都有一个表象，但是这个表象上面我们会有一些规则作用于其中。把这些规则收集起来就会形成一个代数，代数以矩阵的形式作用在模上面。而今日表现理论的重要问题就是在研究这些模的性质与分类。

打个比方，我们今天只要选定任何一组规则，就是选定了一个代数，来研究它的模的分类以及性质。这就像一个平行宇宙一样，它在这个宇宙里面有自己的元素周期表，跟其他已知的周期表可能长得不一样，每个周期表里面的元素性质也会跟其他人不一样。哪些原子间可以以什么方式组成分子？这个规则也会跟其他的宇宙不一样。所以对于每一个给定的代数我们都想要去研究，简单模要怎么样分类？简单模有什么样的性质？什么样子的维度？不同的简单模之间有多少维度延伸？

这些延伸是什么意思呢？再来打个比方，我们今天可能考虑一个叠叠乐宇宙; 这个宇宙中就只有一种原子，就是这个长方形的木块。然后你可以用任何你想要的方式把木块碰在一起，反正他们总是会滑开，我们就说这个延伸是无聊的。另一方面我们可以考虑这个巴克球表现理论世界：这个世界中我们只有两种原子，没有磁性的铁球、或者是有磁性的铁棒，球跟球之间不互相作用，但是铁棒的磁性可以把球黏在一起，而且一个铁棒的两端各只能黏一颗球。我们就可以研究这个宇宙里面的延伸，它稍微比叠叠乐复杂一点，但是也不会复杂到哪里去。

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